KHO TÀNG CŨ:
THUẬT
TOÁN KHAI CĂN BẬC
HAI
CHO
HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ
SỞ

Học
sinh tiểu học, bắt đầu học toán từ lĩnh vực số tự nhiên với các phép cộng trừ
nhân chia, rồi đến bình phương, lũy thừa (bậc nguyên dương), tuần tự nhi tiến,
cũng chẳng có gì mấy khó khăn, phép tính nào cũng có thuật toán – tức là qui tắc
đặt phép tính để tính một cách rõ ràng, cứ thuộc bảng cửu chương, làm tính cẩn
thận : Thế là
ổn.
Bước
sang phép tinh khai căn, hẵng nói từ khai căn bậc 2 đã thấy phiền phức rồi. Với
các số chính phương thì khỏi cần bàn, quá đơn giản, nhưng còn các số khác thì
sao?
Ngày
trước – nghĩa là 50, 60 năm trước đây – lên trung học đệ nhất cấp (cấp 2) bắt
đầu học sử dụng các bảng tính có sẵn: bảng bình phương, lập phương, căn số bậc
hai… rồi các bảng hàm số lượng giác, sin, cos, tg, cotg
v..v..
Thế
hệ các em học sinh ngày nay thì còn thuận tiện hơn nữa. muốn tính căn số bậc hai
của một số: rút máy tính cassio hay điện thoại thông minh ra bấm nhoay nhoáy:
Xong!
Thế
nhưng nếu ta không có máy tính mà cũng chẳng có bảng tính thì sao nhỉ? Thì …
chịu! Trong mấy chục năm dạy học, tôi đã hỏi thử nhiều sinh viên đại học, kể cả
sinh viên Toán hẳn hoi thì chưa thấy em nào biết được một “thuật toán” tính căn
số bậc hai giống như các thuật toán làm phép nhân, phép chia
vậy.
Nhớ
lại hồi mới lên Trung học phổ thông (hồi ấy Trung học phổ thông là tên goi tương
đương cấp 2 hay TH cơ sở ngày nay, còn cấp 3 hay Phổ thông trung học NGÀY NAY
thì trước kia gọi là Trung học chuyên khoa), bọn học sinh chúng tôi có mày mò
“truyền bí kíp” cho nhau một thuật toán rất hay, chẳng hiểu vì sao mà những năm
sau này không còn thấy ai nhắc đến? Chắc là kỷ nguyên CNTT rồi, chẳng ai cần gì
biết đến cái trò thủ công lạc hậu, tổn hao nơ ron
nữa!
Vắt
tay lên trán, nhớ lại chuyện hơn 60 năm trước, tôi xin giới thiệu lên đây, gọi
là: ..Mua vui (hay phiền?) cũng được một vài trống
canh.
Thuật
toán khai căn bậc hai của một số tự
nhiên
Cho
n là một số tự nhiên – không chính phương. Tính căn số bậc hai của n
- CSBH(n) :
Qui
tắc thuật
toán:
· Bước
1:Tìm a0 là
số nguyên lớn nhất mà bình phương không vượt quá
n.
a0 là
phần nguyên của giá trị gần đúng của căn số bậc hai của n -
CSBH(n) với
sai số ở hàng đơn vị; CSBH(n)
xấp xỉ = a0
· Bước
2:Tính
hiệu số n – (a0)2 = Y1. Thêm
vào sau Y1 hai số 0 tức là ta tạo ra số
100Y1 . Nhân đôi a0,
rồi tìm một số tự nhiên a1 sao
cho khi ghép a1 vào sau số 2.a0 nghĩa
là tạo thành con số (2.a0x10)
+ a1 rồi
nhân cho a1 tức
là có số [(2.a0x10)
+ a1].
a1 không
vượt quá số
100Y1 .
· a1là
số thập phân thứ nhất trong giá trị gần đúng của của CSBH(n) với
sai số ở hàng số lẻ thứ nhất:
CSBH(n)
xấp xỉ = a0,a1
· Bước
3: Tính
hiệu số Y2=
100Y1 –
[(2.a0x10)
+ a1]. a1. Thêm
vào sau Y2hai
số 0 tức là tạo thành số 100 Y2. Ghép hai con
số a0,a1 lại
thành con số hàng chục 10a0 + a1, nhân đôi số
đó rồi tìm một số a2 sao cho khi tạo thành con
số {10.[2(10a0+
a1)]+ a2}. a2 thì
số này không vượt quá số 100Y2
· a2là
số thập phân thứ hai trong giá trị gần đúng của CSBH(n) với
sai số ở hàng số lẻ thứ hai
CSBH(n) xấp xỉ = a0,a1a2
· Bước
4: Lặp
lại bước 3, tính hiệu số Y3 = 100Y2– {10.[2(10a0+
a1)]+ a2}.a2. Thêm
vào sau Y3 hai
số 0 tức là tạo thành số 100 Y3.Ghép
3 con số a0a1a2 thành
một số hàng trăm (100a0 +
10a1 + a2), nhân
đôi số đó lên v..v.. và cứ tiếp tục như vậy ta đạt đến
độ chính xấc ở số thập phân tùy
ý....
- Trình
bày cụ thể qua 2 thí dụ sau
đây:
Thí
dụ 1: Tìm căn số bậc 2 cua 3:
*
Bước 1: Tìm
số chính phương lớn nhất bé hơn 3, đó là số a0= 1
Kết
quả gần đúng đầu tiên là CSBH(3) xấp xỉ = 1
*
Bước 2: Bình
phương của 1 là 1; 3 – 1 = Y1 = 2, Viết tiếp sau số 2
HAI con số 0 ta có 200. Lấy kết quả đầu tiên là 1 nhân với 2: 1 x 2 = 2; tìm một
số a1 sao cho khi viết tiếp vào tích số 2 mới thu được
thành con số 2(10 + a1) rồi nhân với a1 thì
tích số a1.[2(10 + a1)] vẫn còn bé hơn 200. Số đó
là 7 vì : 27 x 7 = 189 <
200
Kết
quả gần đúng đến 1 số lẻ thập phân là CSBH(3) xấp
xỉ = 1,7
*
Bước 3: Y2 =
200 – 189 = 11. Viết tiếp vào sau số dư 11 thêm 2 số 0 thành 1100. Lấy 17 x 2 =
34, tìm 1 số a2 viết vào sau 34 thành 34 x 10 +
a2 sao cho khi nhân cho a2 vẫn
còn bé hơn 1100: số đó là 3 vì 343 x 3 = 1029
<
1100
Kết
quả gần đúng đến 2 số thập phân là CSBH(3) xấp
xỉ = 1,73
*
Bước 4: Y3=
và 1100 – 1029 = 71. Viết tiếp sau số dư 71 thêm 2 số 0 thành 7100. Lấy 173 x 2
= 346, tìm 1 số a3 viết sau 346 thành 3460 +
a3 sao cho khi nhân cho a3 vẫn
còn bé hơn 7100: số đó là 2 vì 3462 x 2 = 6924
<
7100
Kết
quả gần đúng đến 3 số thập phân là: CSBH(3) xấp
xỉ = 1,732
*
Bước 4: Y4 =
7100 – 6924 = 176. Viết tiếp sau số dư thêm 2 số 0 thành 17600. Lấy 1732 x 2 =
3464, tìm 1 số a4 sao cho (34640 +
a4 ) a4vẫn còn bé hơn 17600: không tìm được,
vậy số lẻ tiếp theo là 0
Ta
ngừng lại ở bước này và có kết quả gần đúng đến 3 số thập phân
là: 1,732
Thử
lại: (1.732)2 = 1.732 x 1. 732
= 2,
888824 #
3
Thí dụ 2: Tìm căn số bậc
2 cua 127.
* Bước
1: Tìm số chính phương lớn nhất bé hơn 127 đó là
số 11
Kết
quả gần đúng đầu tiên là 11, sai số hàng đơn
vị
* Bước
2: Bình phương của 11 là 121; 127 – 121 = 6, Viết tiếp vào sau
số dư 6 thêm 2 số 0 thành 600. Lấy 11 x 2 = 22, tìm 1 số a1 viết
vào sau 22 thành số 220+a1 sao
cho khi nhân cho a1 thì
tích số còn bé hơn 600: số đó là 2 vì
222 x 2 = 444 < 600 và 600 – 444 = 156.
Kết
quả gần đúng đến 1 số thập phân là 11,
2
*
Bước 3: Viết
tiếp sau số dư 156 thêm 2 số 0 thành 15600. Lấy 112 x 2 = 224, tìm 1
số a2 viết
sau 224 thành 2240 +a2 sao
cho khi nhân cho a2 thì
tích số còn bé hơn 15600: số đó là 6 vì
2246 x 6 = 13476 còn < 15600 và 15600 – 13476 = 2124.
Kết
quả gần đúng đến 2 số thập phân là: 11.
26
* Bước
4: Viết tiếp sau số dư thêm 2 số 0 thành 212400. Lấy 1126 x 2 =
2252, tìm 1 số a3 sao
cho (22520 + a3)
x a3 vẫn
còn bé hơn 212400: số đó là 9 vì
22529 x 9 = 202761 < 212400 và 212400 – 202761 = 9639.
Nếu
ngừng lại ở bước này thì kết quả gần đúng đến 3 số thập phân là:
11.
269
Bước
4 +1: Muốn có độ chính xác cao hơn, viết tiếp sau số dư hai số
0 thành 963900. Lấy 11269 x 2 = 22538, tìm số a4 sao
cho (225380 + a4)xa4 thì
tích số còn
bé hơn 963900: số đó là 4 vì
225384 x 4 = 901536 vẫn < 963900 và 963900 – 901536 = 62634
Kết
quả gần đúng đến 4 số thập phân là: 11,
2694
Có
thể tiếp tục thuật toán để đạt kết quả gần đúng tùy
ý.
Thử
lại: 11
x 11 =
121
11,2 x 11,2 =
125,44
11,26 x 11,26 =
126,7876
11,269 x 11, 269 =
126,990361
11,2694 x 11, 2694 = 126,999376 #
127
Các
cụ có tài không??? Hoàn toàn chính xác nhé. Có điều chứng minh lại thuật toán
này thì là cả một đại vấn đề
đấy!
Thông
thường người ta hướng dẫn học sinh bố trí tiến hành thuật toán như sau (gần
giống như phép chia):
3 1,732
200 27 343 3462
34640
189 x7 x3 x2
x0
1100 189 1029 6924
00000
1029
7100
6924
176